关于树状数组成段更新、求单点值(转载)

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这里面讲的一维树状数组成段更新,求单点值与前几天讲座上的思维方法不一样,而且讲的我彻底明白,而且加了二维树状数组成段更新,求单点值的方法(和一维树状数组的一样)

树状数组的优势就是在题目可以用它实现的时候程序又短常数又小

但是理解起来没有线段树那么直观

 

本文讲的主要是二维树状数组

二维树状数组就是对树状数组的扩展

将c[i]扩展到 c[i,j]

控制的是 a[(i-Lowbit[i]+1..i),(j-Lowbit[j]+1..j)]的元素和

每次更改和统计的时候用两个循环嵌套即可

具体可以看例题程序

 

例题:

 

题意:
    对于一个n*n(n <= 1000)的矩阵A,要求作如下操作:
1. C x1 y1 x2 y2 (1 <= x1 <= x2 <= n, 1 <= y1 <= y2 <= n) 将当前范围内
的值和1异或。
2. Q x y (1 <= x, y <= n) 询问 A[x, y]。

解法:
    树状数组

思路:
    这题和树状数组的操作正好相反,树状数组是对点更新,成段求和,这题要
求成段更新,对点求值。但是还是可以转化,我们不妨先来考虑一维的情况,给
定一排数字,每次在区间进行进行成端加上一个数,然后询问某个点的值,很容
易想到线段树,但是线段树的常系数太大,我们试图用树状数组来解决,方法是
给定区间[a, b],如果要求在[a,b]区间都加上T我们只要在a的位置插入一个T,
然后在b+1的位置插入一个-T,这样下次询问某个值k的时候,只要将[1,k]的和求
出来就是k这个位置的值,为什么呢?分三种情况讨论:
1. k < a        先前的插入操作不影响此次结果   
2. a <= k <= b  a的位置插入T后,统计时值被加了一次
3. k > b。      a的位置有T,b+1的位置有-T,正好抵消
所以结论成立。
    然后就可以扩展到二维的情况,也是一样,如果对于(x1, y1) (x2, y2)这个
矩形,只要在(x1, y1) (x2+1, y2+1)这两个点插入T,而(x2+1, y1) (x1, y2+1)
这两个点插入-T即可。

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